.. index:: van del Pol equation

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例題：ファン・デル・ポール振動子
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.. toctree::
   :maxdepth: 1

　ルンゲ－クッタ法では，エネルギーは保存しないが，非常に長時間にわたって計算が行えることが分かった．
これを使って，ファン・デル・ポール（van del Pol）方程式の計算を行ってみよう．

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ファン・デル・ポール方程式は，非線形力学の分野で有名な方程式である．

.. math::
    \ddot x + \mu\left(x^2-1\right)\dot x+ x = 0

ほとんど，バネ・マス・ダンパ系の方程式であるが，ダンパの部分（減衰項）が非線形になっている． :math:`|x|>1` では減衰項が抵抗として働く（振動を小さくしようとする）が， :math:`|x|<1` では，負の抵抗として働く．
振動を大きくしようとする．

プログラムをほんの少々変更すれば計算できる．

以下の図は，　:math:`\mu=1.5` , :math:`x(0)=0.5，v(0)=0.0` の初期条件で計算を行った結果である．
[tmax = 30.0d0，n=3000（時間刻みは0.01）]

.. figure:: ../img/328XvsT_vdP.png
   :scale: 100 %
   :align: center
   :alt: X vs T of van del Pol equation

位置の時間変化．振動がひしゃげている．

.. figure:: ../img/329UvsT_vdP.png
   :scale: 100 %
   :align: center
   :alt: U vs T of van del Pol equation

速度の時間変化．

.. figure:: ../img/330UvsX_vdP.png
   :scale: 100 %
   :align: center
   :alt: U vs X of van del Pol equation

縦軸速度，横軸位置の相平面．

次は，　:math:`\mu=0.1` , :math:`x(0)=0.1，v(0)=0.0` の初期条件で計算を行った結果である．
[tmax = 3000.0d0，n=300000（時間刻みは0.01）]

.. figure:: ../img/331XvsT_vdPu01.png
   :scale: 100 %
   :align: center
   :alt: X vs T of van del Pol equation

位置の時間変化．

.. figure:: ../img/332UvsT_vdPu01.png
   :scale: 100 %
   :align: center
   :alt: U vs T of van del Pol equation

速度の時間変化．位置，速度ともに徐々に振動が大きくなり，その後周期的な振動を維持する．

.. figure:: ../img/333UvsX_vdPu01.png
   :scale: 100 %
   :align: center
   :alt: U vs X of van del Pol equation

縦軸速度，横軸位置の相平面．
原点近くからスタートして，徐々にほぼ円形の軌道に漸近していく．この軌道をリミットサイクルという． :math:`\mu` が小さいときは単純な調和振動子に近い振舞いをする．
調和振動であれば相平面は円である．

.. note::
    〔 :title-reference:`ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス`　，Steven H. Strogatz,田中久陽ら訳（丸善出版，2015） 〕