04 フーリエ変換とパワースペクトル

1. 時間領域と周波数領域

時系列データは通常、時間に対して値をプロットする。この見方を時間領域という。しかし、時間領域だけでは「どの周期が強いか」は分かりにくい。

そこで、横軸を時間ではなく周波数や周期にして、どの時間スケールの変動が強いかを見る。この見方を周波数領域という。

• 時間領域：いつ変化したか
• 周波数領域：どの周期が強いか

2. 単純な波

単純な1つの波だけでできている信号なら、スペクトルでは対応する周波数に1本のピークが出る。

3. フーリエ変換の数式（導出から理解する）

① まずやりたいこと

時系列 x(t) の中に、ある周期の波が含まれているかを調べたい。

例えば、周波数 f の波を調べたいなら、次のような波を用意する。

ここで f = 1 / 周期 である。つまり、周期20なら f = 1/20 = 0.05 になる。

② 「似ているか」をどう測るか

2つの関数が似ているかどうかは、「掛けて、全体で足し合わせる」と判断できる。

この値が大きければ、x(t) は cos(2πft) によく似ている。逆に小さければ、あまり似ていない。

つまりこれは、元のデータと、その周波数の波との一致度を測っている。

③ でも cos だけでは足りない

同じ周期でも、波には位相のずれがある。例えば次の波は、cos と同じ周期だが 90 度ずれている。

もし元のデータが sin 型の波だったら、cos との一致度だけでは十分に検出できない。そこで、sin との一致度も調べる必要がある。

つまり、1つの周波数について調べるには、

• cos との一致度
• sin との一致度

の両方が必要になる。

④ 2つを1つにまとめる

cos と sin を毎回別々に書くのは面倒なので、複素指数関数で1つにまとめる。

ここでオイラーの公式を使う。

この式で θ を −2πft と置くと、

となる。

なぜ「−i」なのか

上の式でマイナスがつくのは、オイラーの公式に θ = -2πft を代入しているからである。

つまり、

であり、cos は偶関数、sin は奇関数なので、

したがって、

となる。

⑤ ここでフーリエ変換を定義する

これまでに見たように、ある周波数 f に対して

を計算すると、その周波数の波がどれだけ含まれているかが分かる。

これを、すべての周波数 f について計算したものを X(f) と定義する。

⑥ 本当に展開してみる

この式に、さきほどの

を代入すると、

積分の線形性により、

と書ける。つまり、

• 実部：cos との一致度
• 虚部：sin との一致度

を表している。

⑦ なぜ「内積」と言えるのか

関数の内積は、次のように定義される。

したがって、フーリエ変換は

と見なせる。つまり、x(t) を「周波数 f の波」に投影しているのである。

⑧ 離散版にする前に、時間を刻む

ここまでは連続的な時間 t を使っていた。しかし、実際のコンピュータで扱うデータは離散である。そこで時間を一定間隔 Δt ごとに区切る。

ここで、

• Δt：サンプリング間隔
• n：0, 1, 2, ... と並ぶデータ番号

である。

⑨ 積分を足し算に置き換える

積分は「細かく分けて足し合わせる」ことで近似できる。したがって、

は、

と書ける。

ここで注意が必要なのは、最後に付いている Δt である。 これは「時間の刻み幅」であり、周波数 f には依存しない定数である。

つまり、厳密にはフーリエ変換は次のように書かれる：

ここでは、連続時間の式から離散化した形を区別するために、 連続版を X_cont(f) と書いている。

しかし、ここで私たちが知りたいのは 「どの周波数が強いか（ピークの位置）」であり、 全体に一定の倍率がかかるかどうかは本質ではない。

そのため授業では、この定数 Δt を フーリエ変換の定義の中にまとめて吸収してしまい、

という形で扱う。

以後、離散化された時系列データを簡単に表すために、 x(nΔt) を x(n) と書く。

⑩ 周波数も離散化する

データ数が有限なら、区別できる周波数も有限個になる。データ数を N とすると、周波数は次のように離散化できる。

ここで、

• k：振動の回数
• N：データ数

である。

この式を

に代入すると、指数の中は

となり、Δt が消える。

したがって、

となる。これが離散フーリエ変換である。

⑪ k, n, N の意味

• n：時間側の番号。何番目のデータか
• k：周波数側の番号。どの周波数を見ているか
• N：データの総数

⑫ Pythonとの対応

この1行が、上の総和をすべての周波数について計算している。

⑬ X(f)とは何か

X(f) は「周波数 f の波がどれだけ含まれているか」を表す量である。

ただし X(f) は複素数なので、そのままでは見にくい。そこには

• 振幅（どれくらい強いか）
• 位相（どれくらいずれているか）

の情報が入っている。

⑭ 振幅とパワー

まず、複素数 X(f) の大きさをとる。

さらに、その2乗をとる。

これがパワースペクトルである。

⑮ なぜ2乗するのか

物理では、エネルギーは振幅の2乗に比例することが多い。たとえば波の強さも、単純には振幅の2乗に比例すると考えられる。

したがって、振幅そのものではなく、その2乗をとると「どの周波数がどれだけエネルギーを持つか」が見やすくなる。

⑯ パワースペクトルの横軸と縦軸

• 横軸：周波数 f
• 縦軸：その周波数の強さ Power(f)

グラフのピークは、「その周波数の成分が強い」ことを意味する。

⑰ 周波数と周期の関係

したがって、

• f が小さい → 長周期
• f が大きい → 短周期

である。

例えば、

• f = 0.05 → 周期20
• f = 0.02 → 周期50

⑱ なぜスペクトルでピークが出るのか

すべての周波数について「その周波数の波とどれだけ似ているか」を計算しているので、元のデータに本当に含まれている周期では一致度が大きくなる。

• 一致度が大きい
• X(f) が大きい
• Power(f) も大きい

その結果、スペクトルにピークが現れる。

4. 複数の周期が混ざる場合

5. ノイズがある場合

6. パワースペクトル

パワースペクトルは、各周波数の強さを表す。

• ピーク → 強い周期
• 広がり → 準周期的変動
• ギザギザ → ノイズ

7. 周波数と周期

• 0.05 → 20か月
• 0.02 → 50か月

8. まとめ

• フーリエ変換は、時系列をさまざまな周波数の波に分解する考え方である
• フーリエ変換では、元のデータと各周波数の波との一致度を調べる
• パワースペクトルは、その強さだけを取り出して見える化したものである
• 時間領域では複雑に見える時系列も、周波数領域では周期構造が見えることがある