非静水圧２次元モデルの方程式

まず、上記の実験項目のうち非回転系の実験をコンピューターの中で再現する為に、基盤となる、方程式を準備する。用いるモデルは、２次元の非静水圧モデルとする。即ち、x-z平面のみを考慮し、y方向には、密度や流体の流速、運動が均質（或は、周期的境界条件を仮定したy方向に沿った平均場）であると仮定する。x方向、y方向の運動方程式は、

$$\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x}+w\f... ...al x}+A_h\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+A_v\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$$ (1)

$$\frac{\partial w}{\partial t} +u\frac{\partial w}{\partial x}+w\f... ...ho_o}+A_h\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+A_v\frac{\partial^2 w}{\partial z^2}$$ (2)

$$\frac{\partial \rho^\prime}{\partial t} +u\frac{\partial \rho^\pr... ...ial^2 \rho^\prime}{\partial x^2}+K_v\frac{\partial^2 \rho^\prime}{\partial z^2}$$ (3)

ここで、u, wは、それぞれx, z方向の流速、tは時間、Pは一定密度$\rho_o$と静水圧の関係( $\partial P/\partial z = -\rho_o g$)にある圧力、pは圧力のPからの変動成分、$\rho_o$, $\rho^\prime$は、一定の基準密度とそこからの変動、Ah, 　Avは、水平・鉛直の渦粘性係数、Kh, 　Kvは、水平・鉛直の渦拡散係数である。x-z面で２次元の流れを仮定しているので、非圧縮の仮定にもとずく密度保存式(連続の式)は、

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial z}=0,$$ (4)

である。連続の式が成り立つ事は、流れを流線関数、$\psi$、の勾配として併る事を意味する。即ち、

$$u=\frac{\partial \psi}{\partial z}$$ (5)

$$w=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.$$ (6)

今、渦度$\zeta$を

$$\zeta=\frac{\partial w}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial z},$$ (7)

と定義すれば、$\zeta$と$\psi$は、以下の式を満たす。

$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}=-\zeta,$$ (8)

この流線関数と渦度を用いて、式(11)と(21)は、(1)をzで(2)をxで偏微分し、差し引けば圧力項が消去でき、一つにまとめることができる。この過程で、静水圧の式を用いる。従って、シ� ュレーションに用いる方程式は以下の様になる。

$$\frac{\partial \zeta}{\partial t} +\frac{\partial \psi}{\partial ... ...h\frac{\partial^2 \zeta}{\partial x^2}+A_v\frac{\partial^2 \zeta}{\partial z^2}$$ (9)

$$\frac{\partial \rho^\prime}{\partial t} +\frac{\partial \psi}{\pa... ...ial^2 \rho^\prime}{\partial x^2}+K_v\frac{\partial^2 \rho^\prime}{\partial z^2}$$ (10)

$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}=-\zeta,$$ (11)

境界条件はxについて周期的境界条件

$$\psi \Big \vert _{x=0}= \psi \Big \vert _{x=L},$$ (12)

$$\zeta \vert _{x=0}= \zeta \Big \vert _{x=L}$$ (13)

$$\rho^\prime \Big \vert _{x=0}= \rho^\prime \Big \vert _{x=L},$$ (14)

を採用する。zについては、壁を流れが横切らない条件、ストレス境界条件を採用したうえで壁からの運動量、密度フラックスがない条件、

$$\psi \Big \vert _{z=0}= \psi \Big \vert _{z=h}=0,$$ (15)

$$\rho_oA_v\frac{\partial \zeta}{\partial z}\Big \vert _{z=0}=\rho_oA_v\frac{\partial \zeta}{\partial z}\Big \vert _{z=h}=0$$ (16)

$$K_v\frac{\partial \rho^\prime}{\partial z}\Big \vert _{z=0}=K_v\frac{\partial \rho^\prime}{\partial z}\Big \vert _{z=h}=0,$$ (17)

とする。これに伴い、壁面z=0, z=Hにおいて壁を横切る流れ $w=-\partial \psi/\partial x=0$が保証され、 また、壁に沿う流れ、uは許されることになる。以上の方程式を数値的に解いて